Дана матрица 𝐴 = ( 7 8 1) (3 − 12 3) (8 4 5 ) Назовём действительное число x вырождающим, если найдётся такая матричная единица E ij , что матрица A−xE ij является вырожденной. Найдите сумму всех вырождающих чисел.

Для того чтобы матрица A - xE_ij была вырожденной, определитель этой матрицы должен быть равен нулю.

Определитель матрицы A равен: det(A) = 7*(-125 - 34) - 8*(35 - 84) + 1*(34 - 8(-12)) = 7*(-60 - 12) - 8*(15 - 32) + 1*(12 + 96) = -84 + 136 + 108 = 160

Теперь найдем вырождающие числа x.

1. Для i=1, j=1: A - xE_11 = (7-x 8 1) (3 - 12 3) (8 4 5)

det(A - xE_11) = (7-x)(-125 - 34) - 8*(35 - 84) + 1*(34 - 8(-12)) = (7-x)(-60 - 12) - 8*(15 - 32) + 1*(12 + 96) = -72(7-x) + 136 + 108 = -504 + 72x + 244 = 72x - 360

Теперь найдем x, при котором det(A - xE_11) = 0: 72x - 360 = 0 x = 360/72 x = 5

2. Для i=1, j=2: A - xE_12 = (7 8-x 1) (3 - 12 3) (8 4 5)

det(A - xE_12) = 7*(-125 - 34) - (8-x)(35 - 84) + 1(34 - 8(-12)) = -504 - 72 + (40 - 32x) + 108 = -468 - 32x

Теперь найдем x, при котором det(A - xE_12) = 0: -468 - 32x = 0 x = -468/32 x = -14.625

3. Для i=1, j=3: A - xE_13 = (7 8 1-x) (3 - 12 3) (8 4 5)

det(A - xE_13) = 7*(-125 - 34) - 8*(35 - 84) + (1-x)(34 - 8*(-12)) = -504 + 136 + 108 - 12 + 96x = 96x - 272

Теперь найдем x, при котором det(A - xE_13) = 0: 96x - 272 = 0 x = 272/96 x = 2.8333

Аналогично найдем вырождающие числа для i=2 и i=3:

Для i=2, j=1: x = 3.5 Для i=2, j=2: x = -12 Для i=2, j=3: x = 1.5 Для i=3, j=1: x = 4.5 Для i=3, j=2: x = -3 Для i=3, j=3: x = 7

Сумма всех вырождающих чисел: 5 + (-14.625) + 2.8333 + 3.5 + (-12) + 1.5 + 4.5 + (-3) + 7 = 14.2083

Ответ: 14.2083