Дана матрица A = \begin{pmatrix} 7& 8 & 1\\ 3 & -12 & 3\\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix} Назовём действительное число x вырождающим, если найдётся такая матричная единица E_{ij}, что матрица A - xE_{ij} является вырожденной. Найдите сумму всех вырождающих чисел. Напомним, что матричной единицей E_{ij} называется матрица, у которой на месте (i,j) стоит 1, а на всех остальных местах 0.

Для матрицы A вырождающие числа можно найти следующим образом:

1. Найдем определитель матрицы A - xE_{ij} для произвольного x: A - xE_{ij} = \begin{pmatrix} 7-x & 8 & 1\ 3 & -12-x & 3\ 8 & 4 & 5-x \end{pmatrix} det(A - xE_{ij}) = (7-x)(-12-x)(5-x) + 838 + 134 - 1*(-12)8 - 34*(7-x) - 88(5-x) = -x^3 - 20x^2 + 119x - 168

2. Найдем корни уравнения det(A - xE_{ij}) = 0: -x^3 - 20x^2 + 119x - 168 = 0 Поделим на -1: x^3 + 20x^2 - 119x + 168 = 0 x = 3, x = -7, x = -8

Таким образом, сумма всех вырождающих чисел равна 3 - 7 - 8 = -12.