Дана матрица A = \begin{pmatrix} 7& 8 & 1\\ 3 & -12 & 3\\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix} Назовём действительное число x вырождающим, если найдётся такая матричная единица E_{ij}, что матрица A - xE_{ij} является вырожденной. Найдите сумму всех вырождающих чисел. Напомним, что матричной единицей E_{ij} называется матрица, у которой на месте (i,j) стоит 1, а на всех остальных местах 0.

Для того чтобы матрица A - xE_{ij} была вырожденной, её определитель должен быть равен нулю.

Определитель матрицы A равен 7*(-125 - 34) - 8*(35 - 84) + 1*(34 - 8(-12)) = 7*(-60 - 12) - 8(15 - 32) + 1(12 + 96) = -492 - 136 + 108 = -520.

Таким образом, определитель матрицы A равен -520.

Пусть x - вырождающее число. Тогда определитель матрицы A - xE_{ij} также равен нулю.

Определитель матрицы A - xE_{ij} равен (7-x)(-125 - 34) - 8*(-12 + 35) + 1(3*4 - (-12)*8) = (7-x)(-60 - 12) - 8(-12 + 15) + 1(12 + 96) = (-420 + 72x) + 72 + 108 = 72x - 240.

Таким образом, уравнение 72x - 240 = 0 имеет решение x = 240/72 = 10/3.

Следовательно, вырождающее число равно 10/3.

Сумма всех вырождающих чисел равна 10/3.