Дана матрица А, А= 3*3 [7,8,1;3,-12,3;8,4,5] Назовём действительное число x вырождающим, если найдётся такая матричная единица E_{ij}, что матрица A - xE_{ij} является вырожденной. Найдите сумму всех вырождающих чисел. Напомним, что матричной единицей E_{ij} называется матрица, у которой на месте (i,j) стоит 1, а на всех остальных местах 0.

Для матрицы A = [7,8,1;3,-12,3;8,4,5] вырождающие числа можно найти, вычислив определитель матрицы A - xE_{ij} и приравняв его к нулю.

1. Для E_{11} (i=1, j=1): A - xE_{11} = [7-x,8,1;3,-12,3;8,4,5] det(A - xE_{11}) = (7-x)(-125 - 34) - 8*(35 - 83) + 1*(34 - (-12)8) det(A - xE_{11}) = (7-x)(-60 - 12) - 8(-15 - 24) + 1(12 + 96) det(A - xE_{11}) = (7-x)(-72) + 8*39 + 108 det(A - xE_{11}) = -504 + 72x + 312 + 108 det(A - xE_{11}) = 72x - 84

72x - 84 = 0 x = 84/72 x = 7/6

2. Для E_{22} (i=2, j=2): A - xE_{22} = [7,8,1;3,-12-x,3;8,4,5] det(A - xE_{22}) = 7*(-12-x)5 - 8(35 - 83) + 1*(3*(-12-x) - 88) det(A - xE_{22}) = 7(-60 - 5x) - 8*(-15 - 24) + 1*(-36 - 8*8) det(A - xE_{22}) = -420 - 35x + 120 + 192 - 36 - 64 det(A - xE_{22}) = -200 - 35x

-200 - 35x = 0 35x = -200 x = -200/35 x = -40/7

3. Для E_{33} (i=3, j=3): A - xE_{33} = [7,8,1;3,-12,3;8,4,5-x] det(A - xE_{33}) = 7*(-125 - 34) - 8*(35 - 83) + 1*(34 - (-12)8) det(A - xE_{33}) = 7(-60 - 12) - 8(-15 - 24) + 1*(12 + 96 - 5x) det(A - xE_{33}) = -504 - 84 + 108 + 5x det(A - xE_{33}) = -480 + 5x

-480 + 5x = 0 5x = 480 x = 480/5 x = 96

Сумма всех вырождающих чисел: 7/6 - 40/7 + 96 = 577/42.