Дан равносторонний треугольник \(ABC.\) Провели прямую, которая пересекла сторону треугольника \(AB\) в точке \(C_{1},\) сторону \(BC\) в точке \(A_{1},\) а продолжение стороны \(AC\) в точке \(B_{1}.\) Известно, что \(\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{5}{2}.\) Найдите значение \(\frac{AC}{CB_1}.\)

Обозначим длину стороны треугольника как $a.$ Так как треугольник равносторонний, то $AC = BC = AB = a.$

Также обозначим длины отрезков $AC_1 = 5x,$ $C_1B = 2x,$ $BA_1 = 5y,$ $A_1C = 2y.$

Из подобия треугольников $AC_1C$ и $BCB_1$ получаем:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{AC}{CB_1}.$

Подставляем известные значения:

$\frac{5x}{2x} = \frac{a}{CB_1}.$

Отсюда получаем $CB_1 = \frac{2a}{5}.$

Из подобия треугольников $BA_1A$ и $ACA_1$ получаем:

$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{AB}{AC}.$

Подставляем известные значения:

$\frac{5y}{2y} = \frac{a}{a}.$

Отсюда получаем, что $y = \frac{2}{5}a.$

Теперь можем найти $CB_1:$

$CB_1 = \frac{2a}{5} = \frac{2}{5}a.$

И окончательно получаем:

$\frac{AC}{CB_1} = \frac{a}{\frac{2}{5}a} = \frac{5}{2}.$

Итак, $\frac{AC}{CB_1} = \frac{5}{2}.$