Дан прямоугольный треугольник A B C с катетами A C = 4 и B C = √ 2 . Перпендикулярно к гипотенузе A B провели прямую M N , которая разделила треугольник A B C на две равновеликие части - треугольник A M N и четырехугольник B C M N . Найти радиус окружности, описанной около четырехугольника B C M N . В ответ записать квадрат радиуса окружности, описанной около четырехугольника B C M N .

Из условия задачи мы знаем, что треугольник AMN равновелик треугольнику BNC.

Пусть радиус описанной окружности четырехугольника BCNM равен R.

Так как треугольник AMN равновелик треугольнику BNC, то углы AMN и BNC сонаправлены и равны, следовательно, угол BAC в треугольнике ABC равен 90 градусов.

Так как BCNM - четырехугольник, вписанный в окружность, то углы BMC и BNC равны, следовательно, треугольник BMC равнобедренный.

Из равнобедренности треугольника BMC следует, что угол MBC равен углу MCB.

Так как угол BAC равен 90 градусов, то угол MBC равен 45 градусам.

Из прямоугольного треугольника ABC следует, что sin(45) = BC / AB = √2 / 4, откуда BC = 2√2.

Теперь можем найти диагональ четырехугольника BCNM, которая равна 2R.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BMC, получаем: BC^2 + CM^2 = BM^2 => (2√2)^2 + (2√2)^2 = BM^2 => 8 + 8 = BM^2 => BM = 4√2.

Так как BM - диагональ четырехугольника BCNM, то BM = 2R, откуда R = 2√2.

Квадрат радиуса окружности равен (2√2)^2 = 8.

Ответ: 8.