Дан линейный оператор зеркального отражения от плоскости (зеркальное отражение от плоскости - это преобразование симметрии относительно данной плоскости) 2x+16y+26z=0. Докажите, что число λ=−1 является собственным для этого оператора и найдите отвечающий ему собственный вектор вида (2,α,β). В ответ введите число α, а затем β, разделив иx точкой с запятой.

Пусть вектор (x,y,z) - произвольный вектор в пространстве. Тогда отражение относительно плоскости 2x+16y+26z=0 задается матрицей:

A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Теперь найдем собственный вектор для оператора отражения. Пусть вектор (2, α, β) является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = -1. Тогда должно выполняться условие:

A \begin{pmatrix} 2 \ \alpha \ \beta \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 2 \ \alpha \ \beta \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -2 \ -\alpha \ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ -\alpha \ -\beta \end{pmatrix}

Отсюда получаем систему уравнений:

-2 = -2 -α = -α β = -β

Из последнего уравнения следует, что β = 0. Тогда из второго уравнения получаем α = α, что верно для любого α. Поэтому собственный вектор вида (2, α, 0) является собственным вектором, отвечающим собственному значению λ = -1.

Ответ: α;0.