Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разделили данный треугольник на три треугольника и три параллелограмма. Радиусы окружностей, вписанных в три образовавшихся треугольника, равны \(a,b\) и \(c.\) Найдите радиус окружности, вписанный в исходный треугольник. a+b-c a+b+c (a+b-c)^2 a-b-c (a+b)^2-с

Обозначим стороны образовавшихся треугольников через $x, y$ и $z$, а стороны исходного треугольника через $p, q$ и $r$. Тогда имеем следующие равенства:

$$\begin{cases} x = p + q - c \\ y = q + r - a \\ z = r + p - b \end{cases}$$

Так как радиус окружности, вписанной в треугольник, равен полупериметру треугольника, деленному на его площадь, то можем записать:

$$\begin{cases} p + q + r = 2p_x \\ p + q + r = 2p_y \\ p + q + r = 2p_z \end{cases}$$

где $p_x, p_y, p_z$ - полупериметры треугольников с радиусами $a, b, c$ соответственно. Тогда:

$$2(p + q + r) = 2(p_x + p_y + p_z) = 2(p + q + r)$$

Отсюда следует, что $p_x + p_y + p_z = p + q + r$, то есть радиус окружности, вписанной в исходный треугольник, равен $a + b - c$.

Итак, радиус окружности, вписанной в исходный треугольник, равен $a + b - c$.