cd - высота остроугольного треугольника abc, m - середина стороны ab и угол abc = двум углам bac. Найдите отношение bc:md

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим длину стороны треугольника abc как a, а длину стороны bc как x. Также обозначим угол abc как α.

Так как угол abc равен двум углам bac, то угол bac также равен α.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику abc: cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

Так как треугольник abc остроугольный, то cos(α) > 0. Также из условия задачи следует, что m - середина стороны ab, поэтому am = mb = a/2.

Теперь рассмотрим треугольник abm. Применим теорему косинусов к этому треугольнику: cos(α) = (a^2 + (a/2)^2 - x^2) / (2 * a * a/2) cos(α) = (5/4a^2 - x^2) / a^2 cos(α) = 5/4 - x^2 / a^2

Так как угол α одинаков в обоих треугольниках, то можно приравнять два полученных выражения для cos(α): (5/4 - x^2 / a^2) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

Подставим a = 2m и x = md в это уравнение: (5/4 - m^2) = (b^2 + c^2 - 4m^2) / (2bc)

Учитывая, что bc = x, получаем: (5/4 - m^2) = (x^2 - 4m^2) / (2x^2) 5x^2 - 20m^2 = 8x^2 - 32m^2 3x^2 = 12m^2 x^2 = 4m^2

Отсюда получаем, что x = 2m.

Итак, отношение bc:md равно 2:1.