Биссектрисы внутренних углов при вершинах $$A$$ и $$B$$ треугольника пересекаются в точке $$P$$, а биссектрисы внешних углов при тех же вершинах пересекаются в точке $$Q$$. Докажите, что все четыре точки $$A$$, $$B$$, $$P$$, $$Q$$ лежат на одной окружности. Где расположен её центр?

Для начала заметим, что точка пересечения биссектрис внутренних углов при вершинах треугольника является центром вписанной окружности. Точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах треугольника является центром вневписанной окружности.

Так как точка пересечения биссектрис внутренних углов при вершинах треугольника и точка пересечения биссектрис внешних углов при тех же вершинах лежат на одной прямой (основание трапеции), то центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на одной прямой.

Таким образом, центр вписанной окружности, центр вневписанной окружности, вершины треугольника и точка пересечения биссектрис внутренних углов при вершинах треугольника образуют окружность.