4. Натуральные числа a < b и c таковы, что a! · b! = c!. Докажите, что c ⩽ 2b. Напомним, что для натурального числа k через k! обозначается 1 · 2 · . . . · k.

Доказательство:

Пусть a! = m, b! = n, c! = p, где m, n, p - натуральные числа.

Тогда уравнение a! · b! = c! можно переписать в виде m · n = p.

Так как a < b, то m < n. Также известно, что произведение двух натуральных чисел равно натуральному числу. Поэтому p = m · n.

Так как m < n, то p = m · n < n^2. Таким образом, p < n^2.

Из этого следует, что c! < (b!)^2. Так как c! = p, то p < n^2, что равносильно c < n.

Таким образом, мы получили, что c < n, что означает, что c ⩽ 2b.

Таким образом, доказано, что c ⩽ 2b.