3. Точки М, N и Р делят ребра АD, СD и ВD треугольной пирамиды в отношении 5:2, считая от вершины D. Найдите площадь сечения MNP, если грань AВC –прямоугольный треугольник с катетами AВ=21 см и ВС= 28 см.

Для начала найдем длины отрезков AM, AN и AP.

Пусть x - длина отрезка MD, y - длина отрезка ND, z - длина отрезка PD.

Тогда AM = 5x, AN = 2y, AP = 5z.

Так как точки M, N и P делят ребра AD, CD и BD в отношении 5:2, то x + 5x = AD, y + 2y = CD, z + 5z = BD.

Таким образом, получаем AD = 6x, CD = 3y, BD = 6z.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора:

AB^2 + BC^2 = AC^2

21^2 + 28^2 = AC^2

441 + 784 = AC^2

1225 = AC^2

AC = 35 см

Теперь найдем площадь треугольника MNP.

Площадь треугольника MNP равна половине произведения периметра треугольника MNP на радиус вписанной окружности.

Периметр треугольника MNP равен сумме длин сторон:

MP + NP + MN = AM + AN + AP

MP + NP + MN = 5x + 2y + 5z

MP + NP + MN = 5(x + z) + 2y

MP + NP + MN = 5(AD/6) + 2(CD/3)

MP + NP + MN = 5(35/6) + 2(35/3)

MP + NP + MN = 29,17 + 23,33 + 11,67

MP + NP + MN = 64,17 см

Радиус вписанной окружности равен площади треугольника MNP, деленной на полупериметр треугольника MNP:

r = S / p

r = S / (MP + NP + MN) = S / 64,17

Так как треугольник MNP - прямоугольный, то его площадь равна половине произведения катетов:

S = (MP * NP) / 2

S = (5x * 2y) / 2

S = 5xy

Таким образом, S = 5xy.

Подставим найденные значения x и y:

S = 5 * x * y = 5 * (AD/6) * (CD/3) = 5 * (35/6) * (35/3) = 5 * 5,83 * 11,67 = 339,17 см^2

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

r = S / 64,17 = 339,17 / 64,17 ≈ 5,29 см

Теперь найдем площадь сечения MNP:

S = π * r^2 = π * 5,29^2 ≈ 87,92 см^2

Ответ: площадь сечения MNP примерно равна 87,92 см^2.