17 В прямоугольнике ABСD через вершину В перпендикулярно диагонали АС проведена прямая пересекающая сторону АД в точке М, равноудалённой от вершин В и D. а) Докажите, что лучи ВМ и ВД делят угол АВС на три равные части, б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника АВСД до пря- мой СМ, если ВС=v3.

а) Пусть точка пересечения прямой ВМ и стороны АД обозначается как К. Так как точка К равноудалена от вершин В и D, то треугольники ВКМ и ДКМ равнобедренные. Следовательно, углы ВКМ и МКД равны, а значит, угол ВКД равен углу ВКМ и углу МКД. Так как угол ВКД - это угол АВС, то угол АВС делится лучами ВМ и ВД на три равные части.

б) Пусть точка пересечения диагоналей прямоугольника обозначается как О. Так как угол АВС делится лучами ВМ и ВД на три равные части, то угол ВОМ равен 60 градусов. Так как треугольник ВОМ равносторонний, то ВМ = ВО = МО. Также, так как треугольник СМО прямоугольный, то СМ = МО * tg(30 градусов) = МО * tg(π/6) = МО * v3. Таким образом, расстояние от точки пересечения диагоналей до прямой СМ равно МО * v3 = ВО * v3 = ВС * v3 = v3^2 = 3.