11 друзей катаются на катке в форме правильного 22-угольника. Каждый из них выбрал себе одну пару параллельных сторон катка и катается между ними по прямолинейным траекториям (возможно различным): стартовав от первой стороны, он доезжает до второй, касается заснеженного бортика и едет обратно к первой. И так далее. Через какое-то время оказалось, что суммарно на всех бортиках оказалось 2024 отпечатков рук (включая сделанные в конце, а в начале движения отпечатки не делаются), в углах бортиков отпечатков нет, а все ребята стоят у того бортика, от которого начали движение. Какое максимальное число пересечений траекторий могло получиться? (Самопересечения траекторий не учитываются.)

Максимальное число пересечений траекторий равно 2024 - количество друзей.

Давайте обозначим количество пересечений траекторий за Х. Тогда каждый друг делает X пересечений, а также каждое пересечение учитывается дважды (раз в каждую сторону). Таким образом, общее количество пересечений равно 2X.

Из условия задачи мы знаем, что 2X = 2024 - 11 = 2013. Следовательно, X = 1006.5.

Так как X должно быть целым числом, максимальное число пересечений траекторий равно 1006.