1. На полуокружности случайным образом выбирается точка T. Найдите вероятность, что угол MOT меньше 135°, где O — центр полуокружности, M — начало полуокружности. 2. В треугольнике MNK на сторонах MN и NK отмечены точки L и R так, что прямая LR параллельна MK, а точка L делит сторону MN в отношении 1:4 считая от вершины М. Найдите вероятность того, что случайно выбранная внутри треугольника MNK точка попадёт в треугольник LNR.

1. Поскольку угол MOT равен углу MOA (где A — точка пересечения OT с полуокружностью), то нам нужно найти вероятность того, что угол MOA меньше 135°. Это равносильно тому, что точка A попадет в дугу MN полуокружности, не содержащую точку T.

Таким образом, вероятность того, что угол MOT меньше 135°, равна отношению длины дуги MN, не содержащей точку T, к длине всей полуокружности. Поскольку длина полуокружности равна половине длины окружности, а длина дуги MN равна четверти длины окружности, вероятность равна 1/4.

2. Треугольник LNR — это треугольник, образованный точками L, N и R. Так как прямая LR параллельна стороне MK, то треугольники LNR и MNK подобны. Точка L делит сторону MN в отношении 1:4, значит, точка R делит сторону NK в том же отношении.

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная внутри треугольника MNK точка попадет в треугольник LNR, равна отношению площади треугольника LNR к площади треугольника MNK. Поскольку треугольники подобны, это отношение равно квадрату отношения сторон треугольников LNR и MNK, то есть (1/4)^2 = 1/16.

Итак, вероятность того, что точка попадет в треугольник LNR, равна 1/16.