1. Даны векторы а = 4i - 5j - 4k, b = 5i - j, c = 2i + 2j - 3k. Необходи- мо: а) вычислить скалярное произведение двух векторов 8а, -3с; б) найти модуль векторного произведения -5а, 4b; в) вычислить смешанное произведение трех векторов а, 7b, -2с; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора а, с; д) проверить будут ли компланарны три вектора -3а, 4b, 8с. 2. Вершины пирамиды находятся в точках А(3, 5, 3), B(-3, 2, 8), C(-3, -2, 6), D(7, 8, -2). Вычислить: а) площадь грани ACD; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра BD и две вершины А и С пирамиды; в) объем пирамиды ABCD.

а) Скалярное произведение двух векторов 8а и -3с: 8а = 8(4i - 5j - 4k) = 32i - 40j - 32k -3с = -3(2i + 2j - 3k) = -6i - 6j + 9k

Скалярное произведение = (32 * -6) + (-40 * -6) + (-32 * 9) = -192 + 240 - 288 = -240

б) Модуль векторного произведения -5а и 4b: -5а = -5(4i - 5j - 4k) = -20i + 25j + 20k 4b = 4(5i - j) = 20i - 4j

Векторное произведение = (-20 * -4)i - (-20 * 20)j + (25 * 20)k = 80i + 400j + 500k Модуль векторного произведения = √(80^2 + 400^2 + 500^2) = √(6400 + 160000 + 250000) = √416400 = 645.5

в) Смешанное произведение трех векторов а, 7b, -2с: Смешанное произведение = а * (7b x -2с) = а * (7(20i + 100j + 125k)) = а * (140i + 700j + 875k)

г) Проверка на коллинеарность или ортогональность двух векторов а и с: Для коллинеарности векторов а и с необходимо, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю. Для ортогональности векторов а и с необходимо, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

д) Проверка на компланарность трех векторов -3а, 4b, 8с: Для компланарности векторов необходимо, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

а) Площадь грани ACD: Площадь = 1/2 * |AC| * |CD| * sin(∠ACD)

Вектор AC = C - A = (-3 - 3)i + (-2 - 5)j + (6 - 3)k = -6i - 7j + 3k Вектор CD = D - C = (7 + 3)i + (8 + 2)j + (-2 - 6)k = 10i + 10j - 8k

|AC| = √((-6)^2 + (-7)^2 + 3^2) = √(36 + 49 + 9) = √94 |CD| = √(10^2 + 10^2 + (-8)^2) = √(100 + 100 + 64) = √264

∠ACD = угол между векторами AC и CD

Площадь = 1/2 * √94 * √264 * sin(∠ACD)

б) Площадь сечения, проходящего через середину ребра BD и вершины A и C: Для нахождения площади сечения нужно найти высоту пирамиды, опущенную на основание сечения.

в) Объем пирамиды ABCD: Объем = 1/3 * S * h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.