`KF` - биссектриса треугольника `KLM`, в котором `/_KLM=108^@`, `/_LMK=36^@`. Точка `T` лежит на стороне `KM`, и при этом `/_TFK=90^@`. Найдите `TM`, если `LF=5.`  Указание. Продлите `TF` и `KL` до пересечения в точке `A`.

Для начала построим треугольник KLM:

1. Найдем угол KLM: /_KLM = 180^@ - /_KML - /_LMK = 180^@ - 36^@ - 108^@ = 36^@.

2. Так как KF - биссектриса треугольника KLM, то угол FKL равен углу FKM, то есть /_FKL = /_FKM = 36^@.

3. Так как TFK - прямой угол, то треугольник TFK прямоугольный, и /_TKF = 90^@.

4. Так как TFK - прямоугольный треугольник, то /_FTK = 180^@ - 90^@ - 36^@ = 54^@.

5. Так как FTK - прямоугольный треугольник, то /_FTK = 90^@ - /_FKT = 54^@, откуда /_FKT = 36^@.

6. Так как FKT и KFL - прямые углы, то треугольник KFL также прямоугольный, и /_KFL = 90^@.

7. Так как KFL - прямоугольный треугольник, то KL^2 = KF^2 + LF^2.

8. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KFL: KL^2 = KF^2 + LF^2 = KF^2 + 5^2.

9. Так как KF = KT, то KL^2 = KT^2 + 5^2.

10. В треугольнике KTF: KT = KF * cos(36^@) = KT = 5 * cos(36^@).

11. Подставляем KT в уравнение KL^2 = KT^2 + 5^2: KL^2 = (5 * cos(36^@))^2 + 5^2.

12. Найдем KL: KL = sqrt((5 * cos(36^@))^2 + 5^2).

13. Так как TM = KT, то TM = 5 * cos(36^@).

Итак, TM = 5 * cos(36^@) ≈ 4.04.