12. Бактерии, которые являются пищей для другого вида, подаются в экспериментальное окружение со скоростью v. Установлено, что их съедают со скоростью пропорциональной квадрату их концентрации. Таким образом, численность бактерий x(t) в момент времени t описывается дифференциальным уравнением 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝑣−𝑟𝑥2 , где r = const >0. Найти решение дифференциального уравнения, если x(0)=𝑥0 . Каким будет число бактерий?

Для решения данного дифференциального уравнения сначала выразим его в виде:

dx/dt = v - rx^2

Теперь разделим переменные и проинтегрируем обе стороны:

∫dx / (v - rx^2) = ∫dt

Выполним замену переменных: u = x^2, du = 2xdx

1/2∫du / (v - ru) = ∫dt

1/2 * (1/r) * ln|v - ru| = t + C

ln|v - rx^2| = 2rt + C

Теперь найдем константу С, используя начальное условие x(0) = x0:

ln|v - r(0)^2| = C ln|v| = C

Таким образом, уравнение примет вид:

ln|v - rx^2| = 2rt + ln|v|

v - rx^2 = Ce^(2rt)

Теперь найдем значение константы С, используя начальное условие x(0) = x0:

v - r(0)^2 = Ce^(0) v = C

Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения будет:

v - rx^2 = ve^(2rt)

Теперь найдем число бактерий, подставив t = 0:

v - rx0^2 = ve^(0) v - rx0^2 = v rx0^2 = 0 x0 = 0

Следовательно, в начальный момент времени число бактерий равно 0.